clases de funciones
Una
función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado
dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, rango o ámbito).
De manera más simple: Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada
valor de la primera corresponde un único valor de la segunda.
La función se puede ilustrar mediante un
diagrama usando flechas para indicar la forma en que se asocian los elementos de los dos
conjuntos.
Básicamente, hay tres formas para expresar una función: mediante una tabla de
valores (como el ejemplo anterior), mediante una expresión algebraica o, como veremos luego, mediante una gráfica.
Tipos de funciones
Dependiendo de ciertas características que tome la expresión algebraica o notación de la función f en x, tendremos distintos tipos de
funciones:
Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante.
Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo
muestra que es una recta horizontal.
Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.
Ejemplo:
F(x) = 2x - 1
Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, -1). Su gráfica es una recta ascendente.
Para trazar la gráfica de una función lineal solo es necesario conocer dos de sus puntos.
La ecuación
matemática que representa a esta función, como ya vimos, es f(x) = ax + b, donde f(x) corresponde al valor de y, entonces
y = ax + b
Donde "a" es la pendiente de la recta, y "b" es la ordenada al origen.
La pendiente indica la inclinación de la recta, cuanto sube o baja y cuanto avanza o retrocede. Esto depende del signo que tenga.
El valor de "a" siempre es una fracción (si no tiene nada abajo, es porque tiene un 1), donde el numerador (p) me indica cuanto sube o baja, y el denominador (q) indica cuanto avanzo o retrocedo.
Aprendido esto, y según el signo de la fracción, la pendiente se
marca de la siguiente forma:
La ordenada al origen (b) es el valor donde la recta corta al eje y.
La recta siempre va a pasar por el punto (0; b)
Representación gráfica de una función lineal o función afín
Para graficar una recta, alcanza con los
datos que da la ecuación matemática de la función, y se opera de la siguiente manera:
1. Se marca sobre el eje y la ordenada al origen, el punto por donde la recta va a cortar dicho eje.
2. Desde ese punto, subo o bajo según sea el valor de "p" y avanzo o retrocedo según indique el valor de "q". En ese nuevo lugar, marco el segundo punto de la recta.
3. Se podría seguir marcando puntos con la misma pendiente, pero con 2 de ellos ya es suficiente como para
poder graficar la recta.
4. Teniendo ya los dos puntos, con regla se traza la recta que pasa por los mismos.
Ejemplo:
Graficar la siguiente función:
La ordenada al origen (3) me indica que me debo parar sobre el eje y en el 3.
También podemos graficar una función dando valores a x y obteniendo dos puntos en las coordenadas.
Ejemplo:
Graficar la función dada por f(x) = 2x – 1
Solución
Como la función es lineal se buscan dos puntos de la recta; para ello, se le dan valores a x y se encuentran sus
imágenes respectivas, esto es:
Si x = 0, se tiene que f (0) = 2(0) – 1 = - 1
Si x = 2, se tiene que f (2) = 2(2) – 1 = 3
Así, los puntos obtenidos son (0, -1) y (2, 3), por los cuales se traza la gráfica correspondiente.
El dominio de todas estas funciones polinómicas es el conjunto de los números reales (porque el elemento x puede ser cualquier número real).
Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. El vértice de una parábola se determina por la fórmula:
Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.
Ejemplo:
|
|
F(x) = x2 representa una parábola que abre hacia arriba con vértice en (0,0).
|
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene:
Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales; sin embargo, el dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la división por cero no está definida).
Función de potencia
Una función de
potencia es toda función de la forma f(x) = xr, donde r es cualquier número real.
Las funciones f(x) = x4/3 y h(x) = 5x3/2 son funciones de potencia.
Ejercicios y ejemplos con funciones en general:
Expresar mediante una fórmula la función que asocia a cada número:
a) Su cuádruplo.
La función es: f (x) = 4x.
b) Un número 2 unidades mayor.
La función es: f (x) = x + 2.
c) Su mitad menos 1.
La función es: f (x) = x/2 - 1.
d) El cuadrado del número que es una unidad menor.
La función es: f (x) = (x - 1)2
Veamos algunos otros ejemplos de funciones:
Donde v representa el volumen del gas en litros, p es la presión en
atmósferas y c es una constante de proporcionalidad.
Se observa que al variar la presión a la que está sometido el gas varía el volumen; es decir,
los valores del volumen dependen de los valores de la presión del gas y para cada valor de la presión existe un único valor del volumen.
2) El área A del círculo depende de la longitud de su
radio r y está dada por la fórmula:
Si se conoce el valor del radio se puede conocer el valor del área del círculo.
3) Dada la función f(x) = 5x2 + 2
Encontrar el valor de la función para cuando x = 2.
Para calcular la
imagen de un elemento bajo la función f, se reemplaza dicho elemento en el lugar de la variable, así para x = 2
F (2) = 5(2)2 + 2
F (2) = 22
Por lo tanto cuando x = 2, se tiene que f (2) = 22.
Ejemplo:
El
precio de arrendar un auto es de 15 dólares más 0,20 de dólar por kilómetro recorrido.
c) Si han cobrado 53 dólares ¿cuántos kilómetros se han recorrido?
Veamos:
a) Si llamamos x al número de kms recorridos, la fórmula de la función es f (x) = 15 + 0,2x.
b) x = 50 entonces
F (50) = 15 + 0,2 • 50 = 25
Hay que pagar 25 dólares.
c) f (x) = 53 entonces
15 + 0,2x = 53 entonces x = 190
Se han recorrido 190 km.
Álgebra de funciones
Suma, resta, multiplicación y división de funciones
Sean f y g dos funciones cualesquiera.
Ejemplos:
Suma de funciones
Sean las funciones
